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利用變數變換法計算積分 Use the method of substitution to integrate functions

GETTING STARTED
對於一個無法直接積分的函數,我們利用一個精明的方法來積分─變數變換法。(如果存在函數 $ F$ 使得 $ F'=f $,我們稱函數 $ f$ 是可積分函數。)由於過程相對的複雜,我們將在章節較後段舉例這過程如何在實際的生活中運用。

在這章節中,我們將介紹 differential 的觀念。之後將說明如何利用變數變換法做積分 。

微分(Differentials)
$ \displaystyle \frac{d}{dx}(y)=\frac{dy}{dx}$。導數 $ \displaystyle \frac{dy}{dx}$ 是一個單獨的項, 並不是 $ dy$ 除以 $ dx$ 所得的商。然而,若我們把 $ \displaystyle \frac{dy}{dx}$ 看做是函數,這對我們 會是有用途的。在了解這用途之前,我們會先介紹 differential 的觀念 。我們定義微分(differential) $ dx$ 為一個任意小的實數,且

$\displaystyle dy=y'dx ~~$$\displaystyle $

兩邊同時除以 $ dx$ 我們可以觀察到

$\displaystyle \displaystyle \frac{dy}{dx}=y'
$

這與導數的符號是一樣的。利用微分(differential)的觀念,我們能將 $ \frac{dy}{dx}$ 中的 $ dy$ $ dx$ 視為分別的兩項, 且能用函數的乘法規則來做運算。


\begin{example}
{\bf 求 $y=x^2$\ 的微分 $dy$。}
\end{example}
解:

$\displaystyle dy=2xdx
$


\begin{example}
{\bf 求 $y=2x^3-3x$\ 的微分 $dy$。}
\end{example}
解:

$\displaystyle dy=(6x^2-3)dx
$

我們也能將微分(differential)用在不同的變數上,如 $ u$$ t$。下面兩個例子做為說明。


\begin{example}
{\bf 求 $u=e^{3t}+2$\ 的微分 $du$。}
\end{example}
解:

$\displaystyle du=3e^{3t}dt
$


\begin{example}
{\bf 求 $u=\ln (t)$\ 的微分 $du$。}
\end{example}
解:

$\displaystyle du=\frac{1}{t}dt
$

變數變換(Integration by Substitution)
將一個不容易積分的函數,重寫成一個可以利用基本的積分規則來積分的函數。這樣的積分技巧稱為 變數變換(Integration by substitution)。


\begin{example}
{\bf 求 $\displaystyle f(x)=\frac{2 \ln (x)}{x}$\ 的積分。}
\end{example}
解: 函數 $ f(x)$ 無法利用 $ 6.1$ 的積分規則來做積分。因為 $ \displaystyle f(x)=\frac{2 \ln (x)}{x}$ 是由 $ 2 \ln (x)$ $ \displaystyle \frac{1}{x}$ 所組成,且我們無法討論積分的過程。

$ u=\ln(x)$。我們對兩邊同時微分且用微分(differential)的觀念找出 $ du$

\begin{displaymath}
\begin{array}{rlrll}
u &= \ln (x) \\  [0.15in]
\displaystyle...
...}{x} \\  [0.15in]
du &= \displaystyle \frac{1}{x}dx
\end{array}\end{displaymath}

我們可以將積分改寫成 $ u$ 的項。

$\displaystyle \int 2[\ln (x)](\frac{1}{x}dx) = \int 2u du
$

我們可以知道

$\displaystyle \int 2u du = u^2+C
$

(盡管微分(differential) $ du$ 表示任意小的數且積分中的 $ du$ 意味" 關於 $ u$ ",但這兩個符號的用法是可以通用的。 我們可以從高等微積分中得到更深入的說明。)

因為變數 $ u$ 是我們自己設的且引進積分中,我們必須寫回原來的變數 $ x$

$\displaystyle u^2+C=[\ln(x)]^2+C
$

因此,我們可以得到

$\displaystyle \int \frac{2\ln(x)}{x}dx=[\ln(x)]^2+C
$

每個函數的積分並不是都可以利用變數變換的方法求得。如果能將積分先改寫成下列的型式,之後就可再運用積分的基本規則來求得。

  1. $ \displaystyle \int u^n du $
  2. $ \displaystyle \int e^u du $
  3. $ \displaystyle \int \frac{1}{u} du $


\begin{example}
{\bf 求 $f(x)=2x(x^2+5)^10$\ 的反導函數。}
\end{example}
解: 我們須要求出 $ \displaystyle \int 2x(x^2+5)^10 dx$。函數 $ f(x)$ 是由兩個函數相乘所組成, 我們希望積分能改寫成有 $ u^ndu$ 的項出現。令 $ u=x^2+5$,我們可得

\begin{displaymath}
\begin{array}{rlrll}
u &= x^2+5 \\  [0.15in]
\displaystyle \frac{du}{dx} &= 2x \\  [0.15in]
du &= 2x dx
\end{array}
\end{displaymath}

因此

\begin{displaymath}\begin{split}\int 2x(x^2+5)^10 dx &= \int [(x^2+5)^{10}](2x dx) \\  &= \int u^{10} du \\  &= \frac{u^{11}}{11}+C \end{split}\end{displaymath}    

最後我們寫回原變數 $ x$ 得到

$\displaystyle \int 2x(x^2+5)^10 dx = \frac{(x^2+5)^{11}}{11}+C
$

我們對所算出的結果做微分與原函數 $ f(x)$ 做比對,來驗證答案是否正確。

\begin{displaymath}\begin{split}\frac{d}{dx}[\frac{(x^2+5)^{11}}{11}+C] &= \frac...
...c{1}{11}(x^2+5)^{10} \cdot 2x \\  &= 2x(x^2+5)^{10} \end{split}\end{displaymath}    

微分後與原函數 $ f(x)$ 相同,所以我們能夠確定積分的結果是正確無誤的。


\begin{example}
{\bf 求函數 $g(t)=e^{2t-4}$\ 的積分。}
\end{example}
解: 所求為 $ \displaystyle \int e^{2t-4} dt$。我們希望能夠將原積分改寫成 $ \displaystyle \int e^u du $ 的型式。 令 $ u=2t-4$,則

\begin{displaymath}
\begin{array}{rlrll}
\displaystyle \frac{du}{dt}&= 2 \\  [0....
... 2dt \\  [0.15in]
dt&= \displaystyle \frac{1}{2} du
\end{array}\end{displaymath}

因此

\begin{displaymath}\begin{split}\int e^{2t-4}dt &= \int e^u(\frac{1}{2}du) \\  &...
... &= \frac{1}{2} e^u+C \\  &= \frac{1}{2} e^{2t-4}+C \end{split}\end{displaymath}    


\begin{example}
{\bf 一函數有反導函數 $\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x+4}$\ ,試找出這個函數的通式。}
\end{example}
解: 我們必需求出 $ \displaystyle \int \frac{2x+3}{x^2+3x+4}dx$。原積分希望能夠改寫成 $ \displaystyle \int \frac{1}{u} du $ 的型式。 令 $ u=x^2+3x+4$,則會有

\begin{displaymath}
\begin{array}{rlrll}
\displaystyle \frac{du}{dx} &= 2x+3 \\  [0.15in]
du &= (2x+3)dx
\end{array}\end{displaymath}

因此

\begin{displaymath}\begin{split}\int \frac{2x+3}{x^2+3x+4} dx &= \int \frac{(2x+...
...n \vert u\vert +C \\  &= \ln \vert x^2+3x+4\vert +C \end{split}\end{displaymath}    

所以,所有具有反導數 $ \displaystyle f(x)=\frac{(2x+3)dx}{x^2+3x+4}$ 的函數通式為

$\displaystyle F(x)= \ln \vert x^2+3x+4\vert +C ~~$

在前面幾個例子中,我們選擇了正確的 $ u$ 來做變數變換。然而,也有可能選到的 $ u$ 使得變數變換後無法積分, 這時可試著重新選擇 $ u$。當你從一些不同型態的問題中獲得經驗後,你將能夠簡單地判別如何選擇較適當的 $ u$。 下面例子將告訴我們某些積分是需要選擇特定的 $ u$ 才能算出。


\begin{example}
{\bf 求 $\displaystyle \int x \sqrt{x-1} dx$。}
\end{example}
解: 先將原積分寫成 $ \displaystyle \int x(x-1)^{1/2} dx$。 令 $ u=x-1$,則

\begin{displaymath}
\begin{array}{rlrll}
\displaystyle \frac{du}{dx} &= 1 \\  [0.15in]
du &= dx
\end{array}\end{displaymath}

我們能夠將原積分改寫成

$\displaystyle \int xu^{1/2} du
$

因為 $ x=u+1$,所以可得

$\displaystyle \int xu^{1/2} du = \int (u+1)u^{1/2} du
$

因此

\begin{displaymath}\begin{split}\int (u^{3/2}+u^{1/2}) du &= \int u^{3/2} du + \...
...c{2}{5}(x-1)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} + C \\  \end{split}\end{displaymath}    

我們最後可得

$\displaystyle \int x \sqrt{x-1} dx = \frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3/2} + C
$


\begin{example}
{\bf 求函數 $f(x)=xe^x$\ 的積分。}
\end{example}
解: 我們要算 $ \displaystyle \int xe^x dx$。如果取 $ u=x$,則有 $ du=dx$ 且積分可改寫成

$\displaystyle \int ue^u du
$

除了變數,改寫後仍與原積分式子相同,我們仍然無法得知如何積分。

嘗試 $ u=e^x$,則可得

\begin{displaymath}
\begin{array}{rlrll}
u &= e^x \\
\ln (u) &= \ln (e^x) \\
\ln (u) &= x \\
x &= \ln(u)
\end{array}\end{displaymath}

因為 $ \displaystyle \frac{du}{dx}=e^x$$ du=e^xdx$。原積分可改寫成

$\displaystyle \int xe^x dx = \int [\ln (u)] du
$

因為尚未學到如何對函數 $ \ln (u)$ 做積分,所以我們還無法算出改寫後的積分值。

最後我們嘗試取 $ u=xe^x$,則 $ du=(1\cdot e^x +e^x\cdot x)dx$。對原積分式子做變數變換,將會得到一個同時有變數 $ u$$ x$ 的積分式子,但我們卻無法去求這積分( $ \displaystyle \int xe^x dx = \int u \frac{du}{(1\cdot e^x +e^x\cdot x)}$)。

我們無法用變數變換的方法去求得函數 $ f(x)=xe^x$ 的積分。不過仍然有其他方法去求函數 $ f(x)=xe^x$ 的積分。 在 $ 7.1$ 中,我們將會用部分積分法去求得這積分值。

儘管在微積分有許多的進展,但仍然有許多函數是我們無法去求得積分。在我們能夠判斷出函數是否可積分之前, 我們仍要試著用所學到的方法去求函數的積分。

6.2 Summary
在這章節中,我們學習到利用積分與變數變換的方法去求一函數的反導函數。另外,我們也知道許多函數的積分 無法藉由導數的觀念簡單求得。


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Administrator 2010-01-25