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Mean and Variance 平均值和變異數

隨機變數的分布告訴了我們所有有關它的事,然而,時常我們不需要或 不可能知道一特別的隨機試驗的隨機變數完全的機率分布 所以,我們可以去求幾個特別的值,例如平均數。和關於對於平均值分配分散的情形。 我們已於 8.3 節裡討論關於平均值,但現在我們將平均值的觀念放在機率分配裡。



例題 4     鳥巢下蛋的數量可以被想像成為一個隨機變數。 令 X 表示每一個鳥巢一隻鳥所下的蛋量, 且假設 X 的分配被下列機率密度函數所描述。


$x$ $P(X=x)$ 1 0.05 2 0.1 3 0.2 4 0.3 5 0.25 6 0.1  


每一個鳥巢蛋的平均數量,如 8.3 節所示,可以以加權的和來計算

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\text{平均值} &= \sum_{x} xP(X=x)\\
& =(1)(...
...3)(0.2)\\
& +(4)().3)+(5)(0.25)+(6)(0.1)=3.9\\
\end{aligned}\end{displaymath}

即,每一個鳥巢平均蛋的數量為 3.9 個。


X 的平均值我們稱為 期望值 (expected value)均值 (mean ), 我們以 EX 來表示。 因為它是一個非常重要的量,我們提供下列的定義。


假如 X 為一離散的隨機變數,則 X 的期望值為

EX = $\displaystyle \sum_{x}^{}$xP(X = x)

此加總針對所有的 xP(X = x) > 0


X 的範圍是有限的,則上述加總的定義永遠都有意義。 當 X 的範圍是無限但可數的,則我們必須加總無限的項式。 該加總可能為無限的,端視 X 的狀況而定。 期望值僅定義當兩者 $ \sum_{x<0}^{}$P(X = x) 與 $ \sum_{x\ge 0}^{}$P(X = x) 皆為有限時,我們將不討論上述的加總是無限的情形。

我們很容易的可以擴充 X 的期望值至函數 X 的期望值。 我們皆下來將需要它。令 g(x) 為 x 的函數。則

Eg(x) = $\displaystyle \sum_{x}^{}$g(x)P(X = x)

另外一個重要的量來刻畫隨機變數的分佈為變異數 (variance)。 它描述分配外擴的程度。為了瞭解此定義的動機, 令 XY 為兩個隨機變數其機率密度函數如下


$x$ $P(X=x)$ $P(Y=y)$ -10 0 0.2 -1 0.2 0 0 0.6 0.6 1 0.2 0 6 0 0.2    


我們於圖 12.22 描述此兩分配情形。兩者的期望值皆為 0, 但 Y 分配外擴的情形比 X 來的廣。 為了視此單一數量,我們將計算針對與平均值距離差的平方做加權, 此數量被稱為變異數。


假如 X 為一離散的隨機變數且其期望值為 $ \mu$ ,則 X 的變異數為

var(X) = E(X - $\displaystyle \mu$)2 = $\displaystyle \sum_{x}^{}$(x - $\displaystyle \mu$)2P(X = x)


因為變異數為平方的平均值,所以他永遠都是非負的。 回到我們的隨機變數 XY; 因為它們的期望值都為 0,它們的變異數於是為

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\text{var}(X) &=(-1)^2(0.2)+(0)^2(0.6)+(1)^2(...
...r}(Y) &=(-10)^2(0.2)+(0)^2(0.6)+(01)^2(0.2)=40\\
\end{aligned}\end{displaymath}

我們看到 Y 的變異數大於 X,反映了 Y 的外擴範圍遠大於 X

X 的變異數通常我們記為 $ \sigma^{2}_{}$, 另一與變異數非常接近的量我們稱為標準差 (standard deviation) 記為 $ \sigma$ ,它的定義為 變異數的平方根。

$\displaystyle \sigma$ = $\displaystyle \sqrt{\text{var}(X)}$

在我們舉例前,我們先收集一些關於期望值與變異數的公式, 第 1 個公式告訴我們如何求 X 的線性變換的期望值與變異數。


ab 為常數,則

\begin{displaymath}\begin{aligned}
E(aX+b) & = a(EX)+b\\
\text{var}(aX+b) & =a^2\text{var}(X)\\
\end{aligned}\end{displaymath}


第一個性質告訴我們 X 的線性組合的期望值為線性組合作用於 X 的期望值上。 第二個性質告訴我們 aX 的變異數為 a2 X 的變異數,這是非常重要的此倍數被提出 變異數函數時此常數變為平方。更進一步的觀察, 我們發現,隨機變數做平移後其變異數並不會改變。

我們有必要常常面對兩個隨機變數的和。 我們收集一些公式,我們將不證明它。 令 XY 為兩相異的離散的隨機變數, 則,X + Y 亦為離散的隨機變數。我們有


\fbox{\begin{minipage}{13.2cm}
\begin{displaymath}
E(X+Y)=EX+EY
\end{displaymath} \end{minipage}
}


我們可以利用此公式來推導變異數的另一形式的公式。 我們由此開始

(X$\scriptstyle \mu$)2 = X2 - 2$\displaystyle \mu$X + $\displaystyle \mu^{2}_{}$

兩邊取期望值,我們發現

E(X$\scriptstyle \mu$)2 = E(X2 - 2$\displaystyle \mu$X + $\displaystyle \mu^{2}_{}$)

因為和的期望值為期望值的和,等式的右邊於是為

E(X2) - 2E$\displaystyle \mu$X) + E$\displaystyle \mu^{2}_{}$)

現在, E$ \mu^{2}_{}$ = $ \mu^{2}_{}$ = (EX)2 E(2$ \mu$X) = 2$ \mu$EX = 2(EX)2。 因為 var(X) = E(X - $ \mu$)2,我們有


\fbox{\begin{minipage}{13.2cm}
\par
\begin{displaymath}
\text{var}(X)=EX^2-(EX)^2
\end{displaymath} \end{minipage}
}


這公式經常且方便的被使用,因為它的形式以代數的觀點來看是比較簡單的。 注意, EX2$ \ne$(EX)2 除非 var(X) = 0。 我們將利用此公式於例題 4,在例題 4 裡,我們發現 EX = 3.9。 為了計算 EX2 ,我們必須計算

\begin{displaymath}\begin{aligned}
EX^2 & =\sum_x x^2P(X=x)\\
& =(1)^2(0.05)+(2...
...\\
& +(4)^2(0.3)+(5)^2(0.25)+(6)^2(0.1)=16.9\\
\end{aligned}\end{displaymath}

所以,

var(X) = 16.9 - (3.9)2 = 1.69

兩個隨機變數相乘的期望值的公式稍為複雜些, 即,我們需要兩個隨機變數是互相獨立的。 隨機變數的獨立性的定義與事件間的獨立性非常類似。 即,當 XY 兩個離散的隨機變數稱為獨立,假如

P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)

針對所有的 xy

我們現在可以敘述關於兩個獨立的隨機變數乘積的期望值的一些結論。


假如 XY 為獨立的兩個離散隨機變數,則

E(XY) = (EX)(EY)


這個公式允許我們計算兩個獨立的隨機變數和的變異數,即 假如 XY 為獨立的兩個隨機變數;則

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\text{var}(X+Y) & = E(X+Y)^2-[E(X+Y)]^2\\
&...
...
& =EX^2+2E(XY)+EY^2-(EX)^2-2(EX)(EY)-(EY)^2\\
\end{aligned}\end{displaymath}

因為XY 為獨立的,我們有 E(XY) = (EX)(EY), 所以上述的和可以簡化為

EX2 - (EX)2 + EY2 - (EY)2

但這即為 var(X) + var(Y)。所以


假如XY 為獨立的,則

var(X + Y) = var(X) + var(Y)



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math 2005-08-16