The Normal Distribution 常態分配

定量遺傳學涉及公制特徵，例如植物高度，垃圾尺寸，人體體重，等等。 這些特徵被稱為定量的特徵。有很多定量的特徵，它們的次數分怖產生一條鐘型的曲線。 例如，計算果腹果蠅在腹部一些特別部分 (第五腹甲) 的硬毛，Mackay (1984) 發現硬毛的數量根據一條鐘型的曲線變化。 (此為圖示 8.10，由 Hartl 和 Clark 在 1989 年更新。)

在圖示 8.10 的這個配合長條圖的平滑曲線，和常態分佈成正比 (這個曲線並沒有按造階梯狀分割， 所以在曲線下方的面積約等於 1 ) 。這個常態分佈的機率密度函數是以兩個參數， $\mu$ 和 $\sigma$ 表示，它們都可以從資料中判斷得知。 這個變數 $\mu$ 可以是任何實數，這個變數 $\sigma$ 是正實數 (我們說明 $\mu$ 和 $\sigma$ 幾乎相等) 。密度函數如下所示：

變數 $\mu$ 被稱為期望值，而變數 $\sigma$ 被稱為標準差。在問題 1中， 我們研究這個常態分佈的機率密度函數的形狀 (在圖示 8.11 中的曲線) ， 我們將特性收集於此。

1. [1.] f (x) 在 x = $\mu$ 時對稱
2. [2.] f (x) 最大值產生在 x = $\mu$
3. [3.] f (x) 的反曲點產生在 x = $\mu$ - $\sigma$ 和 x = $\mu$ + $\sigma$

因為 f (x) 是機率密度函數，所以

f (x) $$\geq$$ 0    且    $$\int_{-\infty }^{\infty }$$f (x)dx = 1

到現在我們所擁有的工具，我們並不能證明說機率密度函數正規化到 1 。無論如何，我們可以證明的是平均值就是我們在本章所定義的期望值。 也就是說，

$$\mu$$ = $$\int_{-\infty }^{\infty }$$xf (x)

(我們將會在問題 2 中做這個微積分) 。此外，如果一個隨機變數 X 伴隨著變數 $\mu$ 和變數 $\sigma$ 呈現常態分佈，則

在 $ [ a , b ] $ 中的母體分割 = f (x) = $${\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}}$$e^{- (x - $\mu$)2/2$\sigma^{2}$}dx

使用基本函數的積分技巧不可能計算這積分。 它只能被以數值的方式來被計算。 當變數 $\mu$ = 0 和 $\sigma$ = 1 的常態分佈的表格，對於

F(x) = $${\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}$$e^-z2/2dz

列出它們的值 ( F(x) 的表格被列在附錄 B 中)

在此情況下，我們只需有三個值。在期望值為 $\mu$ 、標準差為 $\sigma$ 的常態分佈密度函數下的區域， A(k) ，範圍在 $\mu$ - k$\sigma$ 和 $\mu$ + k$\sigma$ 之間， k=0、1、2 ，分別是

k	A(k)
1	68%
2	95%
3	99%

見圖示 8.12 所以存在隨機變數 X 的分佈是期望值為 $\mu$ 、標準偏移量為 $\sigma$ 的常態分佈時，會有 68% 的分佈機率在與期望值相距一個標準偏移量之內， 95% 的分佈機率在與期望值相距兩個標準偏移量之內， 99% 在與期望值相距三個標準偏移量之內。 這個現象描述了標準偏移量的意義：我們所好奇的隨機變數 X 的分散情況。

以上的這些機率也可以用下面的方式描述。隨機變數 X 的分佈是期望值為 $\mu$ 、標準差為 $\sigma$ 的常態分佈時，我們從此分佈中任意取樣， 我們取樣的結果會有 68% 的機率落在與期望值相距一個標準偏移量的範圍內。 所以，我們可以說隨機變數 X 的範圍在區間 [$\mu$ - $\sigma$,$\mu$ + $\sigma$] 之內的機率等於0.68， 即可寫成

P(X $$\in$$ [$$\mu$$ - $$\sigma$$,$$\mu$$ + $$\sigma$$]) = 0.68

其中 P 代表機率的意思。 同樣地

P(X $$\in$$ [$$\mu$$ - 2$$\sigma$$,$$\mu$$ + 2$$\sigma$$]) = 0.95    且    P(X $$\in$$ [$$\mu$$ - 3$$\sigma$$,$$\mu$$ + 3$$\sigma$$]) = 0.99

利用期望值和標準偏移量來估計機率

例題 1     當隨機變數 X 的期望值 $\mu$ = 4 和標準偏移量 $\sigma$ = 1.5 時。 我們做一取樣；找出以期望值為中心，使得取樣機率有 95% (還有 99% ) 的區間。

解     因為 95% 的機率區間是在期望值相距兩個標準偏移量之內 (見圖示 8.13) ，所以區間在

[4 - (2)(1.5), 4 + (2)(1.5)] = [1, 7]

我們可以寫成

P(X $$\in$$ [1, 7]) = 0.95

同樣地， 99% 的機率區間在

[4 - (3)(1.5), 4 + (3)(1.5)] = [- 0.5, 0.5]

一樣可以寫成

P(X $$\in$$ [- 0.5, 0.5]) = 0.99

例題 2     若有一個取樣量以 X 為標誌，是期望值 $\mu$ = 3 、 標準偏移量 $\sigma$ = 2 的常態分佈，我們選擇取樣為整數時，那取樣值超過 9 的機率是多少？

解     因為 9 = 3 + 3(2) ，所以我們可以看出機率是在與期望值相距三個標準偏移量之內 (見圖示 8.14) ， 也就是說有 99% 的可能在與期望值相距三個標準偏移量之內；反過來說也就是有 1% 的可能在區間 [$\mu$ - 3$\sigma$,$\mu$ + 3$\sigma$] 之外。 再加上因為常態分佈的機率密度函數為對稱於期望值的形式，也就是說比 $\mu$ - 3$\sigma$ 更小，或是比 $\mu$ + 3$\sigma$ 更大的區域大小相同。 所以取樣值超過9的機率為 (1%)/2 = 0.5% 。 我們可以寫成

P(X > 0.9) = 0.005

例題 3     若有一個取樣量以 X 為標誌呈期望值 $\mu$ 和標準偏移量 $\sigma$ 的常態分佈時， 請問取樣值在 $\mu$ + $\sigma$ 以下的機率有多少？

解     因為有 68% 的機率在與期望值相距一個標準偏移量的範圍內，再加上常態分佈的機率密度函數為對稱於期望值， 所以可想而知有 34% 的機率在區間 [$\mu$,$\mu$ + $\sigma$] 之內。因為上述的對稱性，也可看出有 50% 的機率會落在小於期望值的範圍內。 所以 34% + 50% = 84% 的分佈機率在 $\mu$ + $\sigma$ 以下，如圖示8.15所示。我們可寫成

P(X < $$\mu$$ + $$\sigma$$) = 0.84

用表格找機率 這個表格是有著期望值為 0 和標準差為 1 的常態分佈 (見附錄 B) ，可以用來算常態分佈於期望值為 $\mu$ 和標準差為 $\sigma$ 的機率。 我們開始解釋如何使用有著期望值為 0 和標準差為 1 之常態分佈的表格，此分佈稱為標準常態分佈，其機率密度函數為

f (u) = $${\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}$$e^-u2/2du

對於 - $\infty$ < u < $\infty$ 此表格是列出

F(z) = $$\int_{-\infty}^{z}$$$${\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}$$e^-u2/2du

的值 就幾何圖形上而言， F(z) 是從左到 x = z 的線，在機率密度函數曲線下圍成的面積，如圖示 8.16 就機率原理上而言， F(z) 等於從左到 z 所觀察到的機率。 舉例來說，當 z = 1 時，我們發現 F(1) = 0.8413 ，也就是說，這個觀察到的機率會小於或等於 1 ，就像這邊是 0.8413。

它同樣也可以表示成母體的 84.13% ，為一個小於等於 1 的數。 如你所見，這個表格並沒有給出所有 z 為負的數。為了要計算出這樣的數，我們採用機率密度函數的對稱性。 例如，如果我們希望計算出 F(- 1) ，我們從機率密度函數的圖看出，面積一直到 -1 的左邊相當於面積大於 1 的右邊。 (見圖示 8.17)

我們可以寫成

$$\begin{aligned} F (-1) & =\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{\sqrt{... ...e^{-u^2/2}du \\ & =1-F (1) =1-0.8413=0.1587 \\ \end{aligned}$$

這邊我們使用到總共面積為 1 的這個事實。

我們可以使用這個表格去算，有著期望值為 $\mu$ 標準差為 $\sigma$ 的常態機率密度函數曲線下方的面積，也就是說，這個表格允許我們去找到

$$\int_{a}^{b}$$$${\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}}$$e^{- (x - $\mu$)2/2$\sigma^{2}$}dx

此處 - $\infty$ < a < b < $\infty$ 。 如果我們利用變數代換

$${\frac{du}{dx}}$$ = $${\frac{1}{\sigma }}$$,        mu = $${\frac{x-\mu }{\sigma }}$$

我們可以找出

$$\int_{a}^{b}$$$${\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}}$$e^{- (x - $\mu$)2/2$\sigma^{2}$}dx = $$\int_{(a-\mu) /\sigma}^{(b-\mu) /\sigma}$$$${\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}$$e^-u2/2du

我們現在了解了，右手邊的面積與標準常態分佈曲線下介於 ${\frac{a-\mu }{\sigma }}$ 和 ${\frac{b-\mu }{\sigma }}$ 的面積是相等的。 也就是說，在常態分佈曲線下考慮中間值 $\mu$ 與標準差 $\sigma$ 介於 a 和 b 之間的面積大小與 標準常態分佈曲線下介於 ${\frac{a-\mu }{\sigma }}$ 和 ${\frac{b-\mu }{\sigma }}$ 的面積相等。我們在下面這個例題來舉例說明

例題 4     假設 X 的量是常態分佈，中間值是 3 ，標準差是 2. 求區間 [2, 5] 與母體的比值，也就是求 P(X $\in$ [2, 5])。

解     要解決這個問題，我們必須先計算

$$\int_{2}^{5}$$$${\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}}$$e^{${\frac{(x-3) ^2}{8}}$}dx

使用變數變換 u = (x - 3)/2 我們可以發現，當

x = 2      $$\Rightarrow$$  u = $${\frac{2-3}{2}}$$ = - $${\textstyle\frac{1}{2}}$$

且，當

x = 5     $$\Rightarrow$$  u = $${\frac{5-3}{2}}$$ = 1

因此，8.7 的積分相當於

$$\begin{aligned} \int_{-1/2}^{1} \frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-u^2... ...(\frac{1}{2}\biggr) -1=0.8413+0.6915-1=0.5328 \\ \end{aligned}$$

因此， P(X $\in$ [2, 5]) = 0.5328

計算標準常態分佈曲線圖下的面積比寫出這些積分還要來得簡單，像圖 8.19 中所示。看圖 8.19 我們所要計算的 F(1) - F(- ${\frac{1}{2}}$) . 因為 F(- ${\frac{1}{2}}$) = 1 - F(${\frac{1}{2}}$) ，所以我們須要計算 F(1) - 1 + F(${\frac{1}{2}}$) ，也就是上面我們計算的。

例題 5     假設數量性狀 X 是常態分佈，平均值是 2 ，標準差是 ${\frac{1}{2}}$ . 求 x 使得母體的 30% 落於 x 中。

解     我們須要求出 x 使得

$$\int_{x}^{\infty}$$$${\frac{1}{\sqrt{2\pi }/2}}$$e^{- (u - 2)2/(2(1/2)2)}du = 0.3

利用變數變換 z = (x - $\mu$)/$\sigma$ ，以 Z 表示數量，也就是，平均值為 0 標準差為 1 的常態分佈，我們可以求出

$$\begin{aligned} P (X>x) & =P (\frac{X-\mu }{\sigma }>\frac{x-... ...>\frac{x-2}{1/2}) \\ & =P (Z>2 (x-2) ) =0.3 \\ \end{aligned}$$

現在， P(Z > z) = 1 - F(z) = 0.3 ; 因此， F(z) = 0.7 . 我們可以求得 F(0.52) = 0.6985 $\approx$ 0.7 . 因此

2(x - 2) = 0.52    或x     = 2.26

也就是， P(X > 2.26) = 0.3 。 因此，我們找到的 x 的值是 2.26

範例的注意事項

取得數值的資料，像是大小或微小的數值，我們可以測量整個母體。或者是從母體取出樣本，從當中找出分佈。比較困難的地方是， 我們必須取出樣本來代表整個母體，在這先不討論。即使我們假設樣本代表整個母體，仍然會有樣本是不符合的。

例題 6     下例圖表的數值代表分別從二個母體取出的二個樣本。它們所代表的值是平均值為 $\mu$ = 0 且 $\sigma$ = 1 的常態分佈。 每個包含圖表的隨機取樣都是常態分佈，平均值為 0 ，標準差為 1 。

		Sample 1
-1.633	0.542	0.250	-0.166	0.032
1.114	0.882	1.265	-0.202	0.151
1.152	-1.210	-0.927	0.425	0.290
-1.939	0.891	-0.227	0.602	0.873
0.385	-0.649	-0.577	0.237	-0.289

		Sample 2
-0.157	0.693	1.710	0.800	-0.265
1.492	-0.713	0.821	-0.031	-0.780
-0.042	1.615	-1.440	-0.989	-0.580
0.289	-0.904	0.259	-0.600	-1.635
0.721	-1.117	0.635	0.592	-1.362

上述兩個表格同時都是由隨機產生器所產生，為標準常態分配即當期望值 $\mu$ = 0，標準差 $\sigma$ = 1 時。

1. [a.] 計算每個樣本中落於平均數 $\mu$ = 0 下方的個數，並比較你在以常態分佈為基礎下所估計的值。
2. [b.] 計算每個樣本中落於與平均數偏差一個標準差中的個數，並比較你在以常態分佈為基礎下所估計的值。

解

1. [a.] 既然平均值為 0 ，透過觀察求出落於平均值的數值，我們可以簡單的算出，此觀察值為負值。在第一個樣本中，有十個觀察值 都在平均數以下；在第二個樣本中，有十四個數值在平均數以下。我們猜想有一半的樣本點在平均值之下。既然樣本點的大小為二十五， 我們猜想大約十二或十三個樣本點小於平均值。
2. [b.] 既然標準差為 1 ，我們計數落於區間 [- 1, 1] 的觀察值數量。在第一個樣本中，有十九個這樣的觀測值；在第二個樣本中，有 十八個這樣的數值。與理論上的數值比較，注意，約有母體的 68% 落於與平均值差距為一個標準差的區間中。因此既然樣本大小為 二十五，那麼 (0.68)(25) = 19.04 ，我們猜想約有十九個觀察值將落在區間 [- 1, 1]

前面的範例中，舉例說明了非常重要的一點。即使是從同一個母體隨機取出的樣本中，也不一定相同。例如前面的範例中，我們猜測有一半 的觀測值會落於平均值。在第一個樣本中，不到一半的觀測值落在平均值；然而在第二個樣本中，有多於一半的值落於平均值。
當樣本大小增加，無論如何，它將反映出母體的增加。假如母體足夠大的話，分佈圖將會充分反應出母體的分佈。但如果你重覆試驗的話， 你將不會得到完全相同的分佈圖。如果樣本大小夠大的話，你會得到相近的結果。