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Integration by Parts 分部積分

如本章開頭所提到,部分積分是乘法公式的積分形式。 令 u = u(x) 、 v = v(x) 為不同的兩個函式,

(uv)' = u'v + uv'

整理過後

uv' = (uv)' - u'v

兩邊同時積分,我們可以得到

$\displaystyle \int$uv'dx = $\displaystyle \int$(uv)'dx - $\displaystyle \int$u'vdx

因為 uv 是 (uc)' 的反導數

$\displaystyle \int$(uv)' = uv + C

我們因此可以

$\displaystyle \int$uv'dx = uv - $\displaystyle \int$u'dv

(在這裡,常數 C 可以被右式的不定積分吸收) 因為 u' = $ {\frac{du}{dx}}$ v' = $ {\frac{dv}{dx}}$ 我們可以縮寫成以下形式

$\displaystyle \int$udv = uv - $\displaystyle \int$vdu

我們總結結論如下


部分積分法則


如果 u(x) 和 v(x) 為不同的積分函數,則

$\displaystyle \int$u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - $\displaystyle \int$u(x)'v(x)dx

可以縮寫成

$\displaystyle \int$udv = uv - $\displaystyle \int$vdu


你也許想知道我們把一個積分式變成另一個會有什麼幫助。以下是第一個範例



例題 1    部分積分
計算

$\displaystyle \int$x sin xdx


解     被積函數 x 和 sin x 是兩個函數的乘積,一個會被令成 u ,另一個則是 v' 。 代入部分積分公式之後會形成另一個樣子 $ \int$u'vdx ,我們必須選取 uv' 因為 u'v 會變得比較簡單。在這裡建議這樣假設

u = x     和     dv = sin x

因為 v = - cos x , u' = 1 整個積分式子 $ \int$u'vdx 被改寫成 - $ \int$cos xdx , 確實的比較簡單吧。我們可以推知

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\int x \sin x dx& = (-\cos x)(x) - \int (\cos...
... + \int \cos x dx\\
&= -x \cos x +\sin x + C\\
\end{aligned}\end{displaymath}

如果我們先前選擇 v' = x , u = sin x ,那我們將會得到 v = $ {\frac{1}{2}}$x2 u' = cos x 。積分式子 $ \int$u'vdx 將被改寫成 $ \int$$ {\frac{1}{2}}$x2cos xdx 比我們先前的 $ \int$x sin xdx 還要複雜。 如果我們使用比較短的形式 $ \int$udv = uv - $ \int$vdu ,我們將會設

u = x     和     dv = sin xdx

du = dx     和     v = - cos x

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\int x \sin x dx & = x (-\cos x) - \int (-\cos x) dx\\
& -x \cos x + \sin x + C\\
\end{aligned}\end{displaymath}



例題 2    部分積分 計算

$\displaystyle \int$x ln xdx


解     因為我們不知道 ln x 的反導函數,我們嘗試

u = ln x     和     dv = x

u' = $\displaystyle {\frac{1}{x}}$     和     v = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$x2

$\displaystyle \int$x ln xdx = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$x2ln x - $\displaystyle \int$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$x2 . $\displaystyle {\frac{1}{x}}$dx = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$x2ln x - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$x2 + C

在我們使用一些實用的小技巧之前,我們示範如何計算這種形式的定積分。



例題 3    定積分 計算

$\displaystyle \int^{1}_{0}$xe-xdx


解     如圖 6.7 我們呈現這個定積分的區域 我們假設

u = x     和     dv = e-xdx

du = dx     和     v = - e-x

因此

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\int ^1 _0 xe^{-x} dx & = -xe^{-x} ]^1_0 - \i...
...{-0})\\
& = -e^{-1} - -e^{-1} + 1 = 1 - 2e^{-1}
\end{aligned}\end{displaymath}

接下來的兩個例子,我們展現一個在部分積分中有時候很有用的小技巧。 這個技巧稱之為「乘上一」



例題 4    乘上一 計算

$\displaystyle \int$ln xdx


解     被積分式子 ln 並不是由乘法公式來的,但是我們可以把它分成 (1)(ln) 還有以下假設

u = ln x     和     dv = 1

u' = $\displaystyle {\frac{1}{x}}$     和     v = = x

我們找到

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\int \ln x dx & = \int (1) (\ln x) dx = x \ln...
...\\
& = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C\\
\end{aligned}\end{displaymath}

我們對 uv' 的選擇可能會令你吃驚,如我們先前所說,我們希望能夠讓積分式子看起來簡單一點 也就是說我們嘗試著簡化 xn 在這個例子中求積分 1 和 ln 的差異,產生出比較簡單的積分式子。 事實上如果我們選擇 u' = ln 和 v = 1 我們將沒有辦法使用部分積分, 因為我們需要 ln x 的反函數來計算 uv $ \int$uv'dx

如果你比較偏好短形式的標記法,你不必乘上一,因為

u = ln     和     dv = dx

伴隨著

du = $\displaystyle {\frac{1}{x}}$dx     和     v = x

立刻產生

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\int \ln x dx & = x \ln x - \int x \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int dx\\
& = x \ln x - x + C\\
\end{aligned}\end{displaymath}



例題 5    乘上一 計算

$\displaystyle \int$tan-1dx


解     因為我們寫 tan-1x = (1)(tan-1x) 和

u = tan-1x     和     dv = 1

u = $\displaystyle {\frac{1}{x^2+1}}$     和     v = = x

我們找到

$\displaystyle \int$tan-1xdx = x tan-1x - $\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{x}{x^2 + 1}}$dx

我們必須使用帶換法來計算右式的積分。

w = x2 + 1,        $\displaystyle {\frac{dw}{dx}}$ = 2x

我們得到

$\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{x}{x^2 + 1}}$dx = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{dw}{w}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ln| w| + C = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ln(x2 + 1)C

如此

$\displaystyle \int$tan-1xdx = x tanx - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ lnx2+1 + C



例題 6    重複使用部分積分 計算

$\displaystyle \int^{1}_{0}$x2exdx


解     當你使用部分積分來算定積分的時候,通常先使用不定積分在使用 FTC,第二部分,再來計算 定積分。 為了計算 $ \int$x2exdx ,我們假設

u = x2     和     dv = ex

u' = 2x     和     v = ex

因此

$\displaystyle \int$x2exdx = x2ex - $\displaystyle \int$2xexdx

為了計算 $ \int$xexdx 我們必須第二次使用部分積分 我們令

u = x     和     dv = ex

u' = 1     和     v = ex

因此

$\displaystyle \int$xexdx = xex - $\displaystyle \int$exdx = xex - ex + C

結合上面兩個結論,我們可以知道

$\displaystyle \int$x2exdx = x2ex - 2[xex - ex + C]

= x2ex - 2xex + 2ex - 2C

在計算不定積分之後,我們現在可以算定積分。 我們先假設 F(x) = x2ex - 2xex + 2ex

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\int ^1 _0 x^2 e^x & = F(1) - F(0)\\
& = (e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2) = e - 2\\
\end{aligned}\end{displaymath}



例題 7    重複使用部分積分 計算

$\displaystyle \int$excos xdx


解     你可以檢查在任一個函數中,可以把 u 稱做 v' 是沒有分別的。我們設定

u = cos x     和     dv = ex

u' = - sin x     和     v = ex

因此

$\displaystyle \int$excos xdx = excos x + $\displaystyle \int$ex sin(x)dx

我們運用第二次的部分積分,設定

u = sin x     和     dv = ex

u' = cos x     和     v = ex

因此

$\displaystyle \int$exsin xdx = exsin x - $\displaystyle \int$excos xdx

結合上面兩式

$\displaystyle \int$excos xdx = ex cos(x) + exsin x - $\displaystyle \int$excos xdx

我們看到 $ \int$excos xdx 出現在等號兩端。重新整理之後,我們得到

2$\displaystyle \int$excos xdx = ex + cos x + exsin x + C1

$\displaystyle \int$excos xdx = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ex(cos x + sin x) + C

此時 C = C1/2 (我們將會在最後介紹常數 C1 (還有 C )

我們總結這一節加上一點點實用的建議:在積分這種形式的式子的時候 $ \int$P(x)sin(ax)dx , $ \int$P(x)cos(ax)dx , $ \int$P(x)e(ax)dx 這裡的 P(x) 是一個多項式而 a 是一個常數 多項式 P(x) 應該要被看成 u 而 sin(ax) , cos(ax) 和 eax 要看成 v' 如果一個積分包含了 ln x , tan-1x 或者是 sin-1 ,這些通常都被看成是 u



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math 2005-08-16