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Indefinite Integral 不定積分

這個代替法則是連鎖律的積分形式。我們因此從連鎖律開始。假設我們希望微分

f (x) = sin(3x2 + 1)

這個很清楚的我們需要用連鎖律,我們設

f (u) = sin u     和     u = 3x2 + 1

可以發現 f'(u) = cos u 。為了微分這個內部函式 u = 3x2 + 1 , 我們使用 Leibniz 標誌,

$\displaystyle {\frac{du}{dx}}$     或者     du = 6xdx

使用連鎖律,我們有

$\displaystyle {\frac{d}{dx}}$sin(3x2 + 1) = $\displaystyle {\frac{df}{du}}$$\displaystyle {\frac{du}{dx}}$ = (cos u)(6x) = cos(3x2 + 1)6x

,倒反這式,我們可以獲得

$\displaystyle \int$cos(3x2 + 1)6xdx = $\displaystyle \int$cos udu = sin u + C = sin(3x2 + 1) + C

這裡我們用 u 來代替 3x2 + 1 而且用 du = 6xdx

為了看這個在背後的基本原則, 我們寫 u = g(x) 。我們的積分可以變成 $ \int$f[g(x)]g'(x)dx , 假如我們用 F(x) 為 f (x) 的反導函數,我們發現

$\displaystyle {\frac{d}{dx}}$F[g(x)] = F'[g(x)]g'(x)

顯示 F[g(x)] 是 f[g(x)]g'(x) 的反導函數。 我們因此可以寫

$\displaystyle \int$f[g(x)]g'(x)dx = F[g(x)] + C

假如我們設 u = g(x) ,則 (6.1) 的右式可以被寫成 F(u) + C 。不過因為 F(u) 是 f (u) 的反導函數, 他也可以表現成

$\displaystyle \int$f (u)du = F(u) + C

。讓等式 6.1 和 6.2 的左式相等,我們有代替法則。


定積分的變數代換


假如 u = g(x) ,則

$\displaystyle \int$f[g(x)]g'(x)dx = $\displaystyle \int$f (u)du


下面我們舉一連串的例子並說明這個法則如何使用,在何時這個替代法則可以成功的被應用。 前兩個例子非常的直接且顯而易見。



例題 1     使用代替
計算

$\displaystyle \int$(2x + 1)ex2 + xdx


解    2x + 1 是 x2 + x 的導函數,為 ex2 + x 內部的函數, 這個建議我們可以用底下的替代

u = x2 + x        $\displaystyle {\frac{du}{dx}}$ = 2x + 1    或者    du = (2x + 1)dx

因此

$\displaystyle \int$ex2 + x(2x + 1)dx = $\displaystyle \int$eudu = eu + C = ex2 + x + C

。 在最後一個步驟,我們將 ux2 + x 替代回來,因我們希望最後的結果是以變數 的形式來表示。



例題 2     計算

$\displaystyle \int$$\displaystyle {\frac{1}{x\ln x}}$dx


解    我們看到1/x 是ln x 的導函數。 所以我們用 u = ln x,則

$\displaystyle {\frac{du}{dx}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{x}}$     或     du = $\displaystyle {\frac{1}{x}}$dx

$ \int$$ {\frac{1}{\ln x}}$$ {\frac{1}{x}}$dx = $ \int$$ {\frac{1}{u}}$du = ln| u| + C = ln| ln x| + C


例題 1 與例題 2 為以後我們會常見的積分變數代換的例子, 我們將他列表出來以方便未來參考使用。


\fbox{\begin{minipage}{13.2cm}
\begin{displaymath}\begin{aligned}
\int g'(x)e^...
...x)} & = \ln\vert g(x)\vert+C \\
\end{aligned}\end{displaymath}\end{minipage}
}



例題 3     計算

$\displaystyle \int$4x$\displaystyle \sqrt{x^2+1}$dx


解    假設 u = x2 + 1 ,則

$\displaystyle {\frac{du}{dx}}$ = 2x     或     $\displaystyle {\frac{du}{2}}$ = xdx

這個被積分函數包含一項為內部函數的導函數,唯一的差別是差了一常數倍數。不過這已經夠好了:

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\int 4x\sqrt{x^2+1}dx &=\int 4\sqrt{x^2+1}xd...
...rac{2}{3}u^{3/2}+C=\frac{4}{3}(x^2+1)^{3/2}+C \\
\end{aligned}\end{displaymath}



例題 4     計算

$\displaystyle \int$tan xdx


解    這裡的技巧是改寫 tan x = $ {\frac{\sin x}{\cos x}}$ 而且了解分母的微分是分子(頂多差一個負號), 這個積分因此是這種形式 $ \int$[g'(x)/g(x)]dx 。 我們使用變數代換

u = cos x        $\displaystyle {\frac{du}{dx}}$ = - sin x     或      - du = sin xdx

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\int \tan xdx & =\int \frac{\sin x}{\cos x}d...
...{u}du=-ln\vert u\vert+C=-ln\vert\cos x\vert+C \\
\end{aligned}\end{displaymath}


在習題 43,你將被要求計算 $ \int$cot xdx,與例題 4 有相同的技巧。 亦即, $ \int$tan xdx $ \int$cot xdx 都是 $ \int$[g'(x)/g(x)]dx 形式的特例。 我們將這兩種形式的三角函數積分收集於下:


\fbox{\begin{minipage}{13.2cm}
\begin{displaymath}\begin{aligned}
\int \tan xdx...
...xdx & =\ln\vert\sin x\vert+C \\
\end{aligned}\end{displaymath}\end{minipage}
}


不是每個例子變數代換的技巧那麼明顯會成功的,請看以下的例子



例題 5    變數代換與方根
計算

$\displaystyle \int$x$\displaystyle \sqrt{2x-1}$dx


解    明顯的,x 不是 2x + 1 的微分,所以好像不適用我們的流程, 但是,如果我們設

u = 2x + 1    其中  $\displaystyle {\frac{du}{dx}}$ = 2     或    dx = $\displaystyle {\frac{du}{2}}$

因為 u = 2x + 1,我們發現 x = $ {\frac{1}{2}}$(u + 1) ,代換進去後,我們發現

\begin{displaymath}\begin{aligned}\int x\sqrt{2x-1}dx &=\int \frac{1}{2}(u+1)\sq...
...{1}{10}(2x-1)^{5/2}+\frac{1}{6}(2x-1)^{3/2}+C \\
\end{aligned}\end{displaymath}



例題 6     假設 g(x) 是一個可微分函數,且他的微分是連續的,計算

$\displaystyle \int$g'(x)cos[g(x)]dx


解     如果我們設

u = g(x)        其中$\displaystyle {\frac{du}{dx}}$    或是    du = g'(x)dx

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\int g'(x)\cos[g(x)]dx &=\int \cos udu\\
&=\sin u+C=\sin[g(x)]+C \\
\end{aligned}\end{displaymath}


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math 2005-08-16