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Continuous Random Variables 連續隨機變數


連續隨機變數



在許多的機率應用當中,連續隨機變數在考慮一個值落在一個區間內的實線上的隨機變數 (此時此隨機變數叫做連續的) 時是非常有幫助的。例如:一個用來表示測量一個人在母群體內的身高是連續的。

定義一個有關連續隨機變數事件的機率,不能只簡單地數出事件發生的可能(此時可以用離散隨機變數)。 相反的,此時需要去定義一個機率密度函數 f


 -0.2cm機率密度函數的定義

考慮一個連續隨機變數的函數 f ,其值落在區間 [a, b] 。 如果此函數為非負且在區間 [a, b] 連續,而且如果

$\displaystyle \int_{a}^{b}$f (x)dx=1

則此函數為機率密度函數x 落在區間 [c, d] 的機率為

P(c $\displaystyle \leqq$ x $\displaystyle \leqq$ d )= $\displaystyle \int_{c}^{d}$f (x)dx

如圖9.5。如果連續隨機變數的直落在無限的區間當中,
此積分式為瑕積分。


1證明機率密度函數
試證 f (x) = 12x(1 - x)2 在區間 [0, 1] 中為一個機率密度函數。


解     開始先由觀察得知 f 在區間 [0, 1] 中連續且非負。

f (x) = 12x(1 - x)2 $\displaystyle \geqq$ 0, 0 $\displaystyle \leqq$ x $\displaystyle \leqq$ 1

接下來算出以下的積分式。

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\int_0^1{12x(1-x) ^2 dx} & =12 \int_0^1{(x^3...
...
& =12\left (1/4 - 2/3 + 1/2\right) \\
& =1\\
\end{aligned}\end{displaymath}

因為值為 1 ,所以能確定函數 f 為落在區間 [0, 1] 上的機率密度函數•如圖9.6。

下一個例題在解決無限區間及其對映的狹積分。




範例 2    


證明機率密度函數
試證 f (x) = 0.1e-0.1t 在區間 [0,$ \infty$] 中為一個機率密度函數。


解     開始先由觀察得知 f 在區間 [0,$ \infty$] 中連續且非負。

f (t) = 0.1e-0.1t $\displaystyle \geqslant$ 0,        0 $\displaystyle \leqslant$ t

接下來算出以下的積分式。

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\int_0^{\infty}{0.1e^{-0.1t}dt} & =\lim_{b \...
...infty} \left (-e^{-0.1b} + 1 \right) \\
& =1\\
\end{aligned}\end{displaymath}

因為值為 1 ,所以能確定函數 f 為落在區間 [0,$ \infty$) 上的機率密度函數•如圖9.7。




範例 3    


求出機率
例題1 中的機率密度函數

f (x) = 12x(1 - x)2,

試求出 x 落在區間 [$ {\frac{1}{2}}$,$ {\frac{3}{4}}$] 的機率。


解    

\begin{displaymath}\begin{aligned}
P(\frac{1}{2} \leq x\leq \frac{3}{4}) & = 12\...
...1}{2}) ^2}{2} \right]\\
& \thickapprox 0.262\\
\end{aligned}\end{displaymath}

因此, x 落在區間 [$ {\frac{1}{2}}$,$ {\frac{3}{4}}$] 的機率大概是 0.262 或 26.2% ,如圖9.8。

在例題 3 中,如果要求出 x 落在 $ {\frac{1}{2}}$ < x < $ {\frac{3}{4}}$,$ {\frac{1}{2}}$ $ \leq$ x < $ {\frac{3}{4}}$ $ {\frac{1}{2}}$ < x $ \leq$ $ {\frac{3}{4}}$ 的機率, 根據例題 3 的方法將會得到相同的答案。換句話說,有沒有包含端點對機率都不造成影響。 這顯示了離散和連續隨機變數的重大不同點。對於連續隨機變數, x 為某特定值 (如 x = 0.5) 的機率考慮為 0 ,因為

P(0.5 $\displaystyle \leq$ x $\displaystyle \leq$ 0.5) = $\displaystyle \int_{0.5}^{0.5}$f (x)dx = 0.

但這不應該解釋為連續隨機變數 x 不會等於 0.5 。這只能簡單的說 x 為某特定值的機率是極小的。




範例 4    


求出機率
考慮一個定義在區間 [0, 5] 上的機率密度函數•如果 x 落在區間 [0, 2] 的機率為 0.7 , 請問 x 落在區間 [2, 5] 的機率為何?


解     因為 x 落在區間 [0, 5] 的機率為 1 ,所以 x 落在區間 [2, 5] 的機率為 1 - 0.7 = 0.3 。


連續隨機變數之應用






範例 5    


產品使用壽命模型
一個產品可用的使用壽命 (年限) 用一個機率密度函數 f 做成模型

f (t) = 0.1e-0.1t, 0 $\displaystyle \leq$ t < $\displaystyle \infty$

試求出隨機抽選一樣產品的使用壽命落在以下區間的機率
  1. 不超過兩年
  2. 兩年以上,但不超過四年
  3. 四年以上


解    

  1. 不超過兩年的機率

    \begin{displaymath}\begin{aligned}
P(0 \leq t \leq 2) & = 0.1 \int_0^2{e^{-0.1t}...
...\
& = -e^{-0.2} + 1\\
& \thickapprox 0.181\\
\end{aligned}\end{displaymath}

  2. 兩年以上,但不超過四年的機率

    \begin{displaymath}\begin{aligned}
P(2 < t \leq 4) & = 0.1 \int_2^4{e^{-0.1t}dt...
...-e^{-0.4} + e^{-0.2} \\
& \thickapprox 0.148\\
\end{aligned}\end{displaymath}

  3. 四年以上的機率

    \begin{displaymath}\begin{aligned}
P(4 < t < \infty ) & = 0.1 \int_4^{\infty }{e...
...ght)\\
& = e^{-0.4}\\
& \thickapprox 0.670\\
\end{aligned}\end{displaymath}

這三種機率之圖形如圖 9.9。此三機率總合為 1 。




範例 6    


每週需求量模型

每週產品需求量用一個機率密度函數 f 做成模型

f (t) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{36}}$(- x2 + 6x), 0 $\displaystyle \leq$ t $\displaystyle \leq$ 6,

x 為銷售量(單位:千) 。每週的最低和最高銷售量是多少?試求出隨機選出一週, 當週之銷售量介於 2000 到 4000 單位間的機率。


解     因為 0 $ \leq$ x $ \leq$ 6 ,所以每週銷售量介於 最低 0 和最高 6000 單位之間。機率由以下積分式

\begin{displaymath}\begin{aligned}
P(2 \leq x \leq 4) & = \frac{1}{36} \int_2^4...
...\
& = \frac{13}{27}\\
& \thickapprox 0.481\\
\end{aligned}\end{displaymath}

得隨機選出一週,當週之銷售量介於 2000 到 4000 單位間的機率大約為 0.481 或 48.1% ,如圖9.10。


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math 2005-10-10