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Radian Measure of Angles 角度的俓度量


角度測量



由圖 8.1,角分成 3 個部分:起始線、終點線、頂點。如果角的起始線與 x 軸相符, 而且它的原點為頂點,則稱為角的標準位置。

從圖 8.2 可以看出數個共通角的角度測量。這裡要注意 $ \theta$ 是相當於角和它的測量值。角度從 0o 90o 稱為銳角,角度從 90o 180o 稱為鈍角,角度為 90o 稱為直角,角度為 180o 稱為平角。

正角是從它起始線的逆時針方向去測量,負角則是從順時針方向去測量的。 舉個例子,從圖 8.3 可以看出那個角的度數是 -45o

只知道角的起始線和終點現在哪裡,並不能讓你知道角的度數。 要去測量一個角,你必須知道終點線是如何自轉的。舉個例子,從圖 8.3 可以看出這個角度為 -45o 和有同一條起始線的 315o 是一樣的。這樣的角稱為同位角。

雖然考慮到角度超過 360o 看起來也許有點奇怪, 但是這是在三角學上非常實用的用法。角度超過 360o 是指它的終點線旋轉 超過逆時針一圈。由圖 8.4 可以看出 2 個角都是超過 360o 的。用相似的方法, 你可以形成一個旋轉超過順時針一圈小於 -360o 的角。




範例 1    



從下面各個角中,找出 $ \theta$ 使得 0o $ \leq$ $ \theta$ < 360o

(a)450o    (b)750o    (c) - 160o    (d )- 390o


解    

(a)
450o 的同位角,可以用 360o 做減法。

$\displaystyle \theta$ = 450o - 360o = 90o

(b)
750o 的同位角,可以減去 2(360o) 。

$\displaystyle \theta$ = 750o - 2(360o) = 750o - 720o = 30o

(c)
-160o 的同位角,可以加上 360o

$\displaystyle \theta$ = - 160o + 360o = 200o

(d)
-390o 的同位角,可以加上 2(360o) 。

$\displaystyle \theta$ = - 390o + 2(360o) = - 390o + 720o = 330o


弧度測量



第 2 種測量角度的方法是用弧度來表示。對於弧度 $ \theta$ 的測量, 想像成 $ \theta$ 是徑度為 1 的圓心角中扇形的弧長,如圖 8.6。 弧度 $ \theta$ 則定義為扇形區域弧的長度。回憶一下圓周長為

圓週長 = (2$\displaystyle \pi$)(徑度)

因此,徑度為 1 的圓周長為 2$ \pi$ ,而且你可以決定測量出來的弧度為 360o 的是 2$ \pi$ 。也就是說

360o = 2$\displaystyle \pi$  徑度

180o = $\displaystyle \pi$  徑度

可以從圖 8.7 中看到數個常用角度的弧度測量值。

能夠把角度跟弧度作轉換對你來說是很重要的。 你應該學會圖 8.7中那些常用角度的換算方法。你可以使用下列的換算方法


 -0.2cm角度換算法則

角度和弧度符合這個方程式:

180o = $\displaystyle \pi$  徑度





範例 2    



將下面的角度換算成弧度。
(a)135o    (b) 40o    (c) 540o    (d) - 270o


解     角度換算成弧度時,將角度乘上 ($ \pi$  徑度)/180o

(a)
135o = (135  度 )($ {\frac{\pi \ \text{ 徑度}}{180\ \text{ 度 }}}$) = $ {\frac{3\pi }{4}}$  徑度
(b)
40o = (40  度 )($ {\frac{\pi \ \text{ 徑度}}{180\ \text{ 度 }}}$) = $ {\frac{2\pi }{9}}$  徑度
(c)
$ {\frac{11\pi }{6}}$  徑度 = ($ {\frac{11\pi }{6}}$  徑度)($ {\frac{180\ \text{ 度 }}{\pi \ \text{ 徑度}}}$) = 330o
(d)
-270o = (- 270  度 )($ {\frac{\pi \ \text{ 徑度}}{180\ \text{ 度 }}}$) = - $ {\frac{3\pi }{2}}$  徑度

雖然可以將數字乘與 $ \pi$ 算出弧度,但那是不必要的。舉個例子,將 79.3o 換算成弧度為

79.3o = (79.3  度 )($\displaystyle {\frac{\pi \ \text{ 徑度}}{180\ \text{ 度 }}}$) = 1.384  徑度





範例 3    



將下列弧度換算成角度。
(a) - $ {\frac{\pi }{2}}$     (b)$ {\frac{7\pi }{4}}$     (c) $ {\frac{9\pi }{2}}$


解     弧度換算成角度時,將弧度乘上 180o/($ \pi$  徑度)

(a)
- $ {\frac{\pi }{2}}$  徑度 = (- $ {\frac{\pi }{2}}$  徑度)($ {\frac{180\ \text{ 度 }}{\pi \ \text{ 徑度}}}$) = - 90o
(b)
$ {\frac{7\pi }{4}}$  徑度 = ($ {\frac{7\pi }{4}}$  徑度)($ {\frac{180\ \text{ 度 }}{\pi \ \text{ 徑度}}}$) = 315o
(c)
$ {\frac{9\pi }{2}}$  徑度 = ($ {\frac{9\pi }{2}}$  徑度)($ {\frac{180\ \text{ 度 }}{\pi \ \text{ 徑度}}}$) = 810o


三角形



三角形的概要

1.
三角形的內角和為 180o
2.
直角三角形中, 2 銳角和為 90o
3.
畢達哥拉斯定理:直角三角形的 2 直角邊的平方和等於斜邊的平方。
4.
相似三角形:如果 2 個三角形是相似的,則他們相似邊的比例是一樣的,如圖 8.9。
5.
三角形的面積等於其中一邊的底乘上它的高,也就是 A = $ {\frac{1}{2}}$bh
6.
等邊三角形中的每個角都是 60o
7.
等腰直角三角形中的 2 個銳角為 45o




範例 4    



計算邊長為 1 的等邊三角形的面積。


解     用公式 A = $ {\frac{1}{2}}$bh ,你必須要先找到三角形的高,如圖 8.10。可以用畢達哥拉斯定理求出高。

\begin{displaymath}\begin{aligned}
h^2 + (\frac{1}{2}) ^2 & = 1^2 \\
h^2 & = \frac{3}{4}\\
h & = \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\end{aligned}\end{displaymath}

因此,三角形的面積為

A = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$bh = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(1)($\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$) = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$


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math 2005-10-10