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Applications of Double Integrals 重積分的應用


實體區域體積



在 7.8 中,你可以把雙重積分當作找平面面積的替代方法。在這一章節中, 你可以用到雙重積分的最主要的應用- 算出一個區塊的體積跟一個函數的平均值 。

考慮一函數 z = f (x, y) 為在一區域 R 裡為非負的且連續的函數。 令 S 為曲面

z = f (x, y)

xy 平面所圍成的區域實體, 我們可以計算實體 S 的體積藉由 fR 上的重積分來求得。


 -0.2cm藉由重積分來計算實體的體積

假如 Rxy 平面上的有界區域,且函數 f 為在該區域中 的非負的且連續的函數,則由曲面 z = f (x, y) 與 R 所圍成實體的體積可由下列 重積分求得

$\displaystyle \int_{R}^{}$$\displaystyle \int$f (x, y)dA

其中 dA = dxdydA = dydx.





範例 1    


找一個立體的體積

找一個立體的體積坐落在平面的第一卦限和

z = 2 - x - 2y


解     在圖 7.48 中你可以看到 R 被直線 x = 0, y = 0 和 y = $ {\frac{1}{2}}$(2 - x) 所圍成。

\begin{displaymath}\begin{aligned}
V & = \int _{0} ^{2} \int _{0} ^{ (2-x) /2} (...
...- x) ^2 dx\\
& = \frac{2}{3} \text{立方單位}\\
\end{aligned}\end{displaymath}




範例 2    


比較積分的不同的表示法
找一個立體於曲面 f (x, y) = e-x2 下, 並由 xz 平面、和平面 y = x, x = 1 所圍成 區域的體積。


解    xy 平面,R 的平面坐落在 y = 0, x = 1 和 y = x 。雙重積分的兩種表示法表示在圖 7.51。 如果你試著去計算雙重積分,你可以發現

\begin{displaymath}\begin{aligned}
V & = \int _{0} ^{1} \int _{0} ^{x} e^{-x^2} ...
... - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{e} - 1 \right) \
\end{aligned}\end{displaymath}

關於上述第一步的建議是讓您能夠畫出三維立方體的區域,當然這是很好的一個建議, 但是這建議並不適用且重要到能夠用於描繪二維 R 的區域。




範例 3    


找出立方體的體積
求出上界為

f (x, y) = 6x2 - 2xy

的表面以及下界為 R 的平面區域此範圍的立方體體積,見圖 Figure 7.52


解     因為 R 的區域被包含在拋物線 y = 3x - x2 和直線 y = x ,所以對於 y 的範圍為 x < = y < = 3x - x2 。 對於 x 的範圍為 0 < = x < = 2 ,因此此立方體體積為

\begin{displaymath}\begin{aligned}
V & = \int ^2_0 \int ^{3x-x^2} _{x} (6x^2-2x...
...[x^4-\frac{x^6}{6}]^2_0 \\
& = \frac{16}{3}.\\
\end{aligned}\end{displaymath}

一人口密度方程式 p = f (x, y) 是為描述區域密度 (每平方單位的人口數) 的數學模型。為了找出 R 區域中的人口數, 計算此雙重積分

$\displaystyle \int_{R}^{}$$\displaystyle \int$f (x, y)dA.




範例 4    


找出一城市的人口數
此城市的人口密度 (每平方英里的人口數) 見圖 Figure 7.53,其可被模型化為

f (x, y) = $\displaystyle {\frac{50,000}{x+\vert y\vert+1}}$

xy 均用英里測量。以近似於其城市人口的數值來計算出此城市的平均人口密度 ?


解     因為此數學模型包含一絕對值 y ,使得此人口密度以 x 軸相互對稱。 也因此第一象限的人口數與第四象限的人口數是相等的。這也意味著您能夠從兩倍的第一象限的人口數來求出全部的人口數。

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\text {人口數} & = 2 \int ^4_0 \int ^5_0 \fr...
...5-6 ln (6) +5]\\
& \approx 422,810 \hbox{人}\\
\end{aligned}\end{displaymath}

因此這城市的人口數約為 422, 810 人。因為這城市函蓋 4 英里寬和 10 英里長的區域, 所以城市面積為 40 平方英里,也因為如此平均人口密度為

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\hbox{平均人口密度} & = \frac{422,810}{40}\\
& \approx \hbox{每平方英里有} 10,570 \hbox{人}.\\
\end{aligned}\end{displaymath}


在一區域中一方程式的平均值




 -0.2cm在一區域中一方程式的平均值

假設 f 是一個在 R 的平面區域上且以面積為 A 的可積分方程式,則 fR 上的平均值為

平均值 = $\displaystyle {\frac{1}{A}}$$\displaystyle \int_{R}^{}$$\displaystyle \int$f (x, y)dA.





範例 5    


找出平均利潤
一製造商確定賣出第一個產品 x 單位和第二個產品 y 單位後的利潤為

P = - (x - 200)2 - (y - 100)2 + 5000.

產品 1 的每週銷售量變化在 150 到 200 單位之間而產品 2 的每週銷售量變化則在 80 到 100 單位之間。 試估計此二產品的平均每週利潤?


解     因為 150$ \le$x$ \le$200 且 80$ \le$y$ \le$100 , 所以您能夠依靠平均利潤方程式來估計在長方形區域中的 每週利潤如圖 Figure 7.54.因為此為長方形區域, 所以其面積為 (50)(20) = 1000 ,也因此平均利潤 V

\begin{displaymath}\begin{aligned}
V & = \frac{1}{1000}\int ^{200}_{150} \int ^...
...3+292,000x]^{200}_{150}\\
& \approx \$ 4033.\\
\end{aligned}\end{displaymath}


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math 2005-10-10