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The Chain Rule 連鎖律


連鎖律 The Chain Rule


在這一段,你將學習到微積分裡面最有威力的 Rule-連鎖律。我們來舉個例子,左邊的是沒有用連鎖律的微分, 而右邊是使用連鎖律的微分:

\begin{displaymath}\begin{aligned}
&\text{不需連鎖律} &\qquad & \text{使用連鎖律...
...{-1}{2} \\
& y=3x+2 & \qquad & y= (3x+2) ^5 \\
\end{aligned}\end{displaymath}


 -0.2cm連鎖律

y = f (u) 可以對 u 微分,而函數 u = g(x) 是可以對 x 微分, 則 y = f (g(x)) 是可以對 x 微分的,同時

$\displaystyle {\frac{dy}{dx}}$ = $\displaystyle {\frac{dy}{du}}$$\displaystyle {\frac{du}{dx}}$

同時與下式等價

$\displaystyle {\frac{d}{dx}}$[f (g(x))]] = f'(g(x))g'(x).


基本上,the Chain Rule states that if y changes $ {\frac{dy}{du}}$ times as fast as u , and u changes $ {\frac{du}{dx}}$ times as fast as x , then y changes

$\displaystyle {\frac{dy}{du}}$$\displaystyle {\frac{du}{dx}}$

times as fast as x , 如圖 2.28。  $ {\frac{dy}{dx}}$ ( yx 微分) 的表示方式是故意寫成除法,以便讓你記憶微分規則。以連鎖律為例,方程式 $ {\frac{dy}{dx}}$ = ($ {\frac{dy}{du}}$)($ {\frac{du}{dx}}$) ,而你可以想像 du 可以被消去。

當使用連鎖律的時候,組合函數會被分成兩個部份-內部 inside 以及 外部outside

y = f(g(x)) = f(u)

而連鎖律告訴你當你對 y - f (u) 微分的時候,如同你對 外部微分乘上對 內部的微分

y' = f'(uu'




範例 1    


分解組合函數
(a) y = $ {\frac{1}{x+1}}$         (b) y = $ \sqrt{3x^2-x+1}$


解     這題有許多種解法,下面僅做出其中一種:

\begin{displaymath}\begin{aligned}
& y=f (g (x) ) & \qquad & u=g (x) \text{ (內...
...} & \qquad & u=3x^2-x+1 & \qquad & y=\sqrt{u} \\
\end{aligned}\end{displaymath}





範例 2    


使用連鎖律
找出 y = (x2 + 1)3 的微分


解     為了使用連鎖律,我們必須要先定出內部的方程式 u

y = (x2+1)3 = u3

根據連鎖律,我們得到下列的微分式

$\displaystyle {\frac{dy}{dx}}$ = $\displaystyle {\frac{dy}{du}}$$\displaystyle {\frac{du}{dx}}$ = 3(x2+1)2(2x) = 6x(x2 + 1)2



The General Power Rule



Ex 2 解釋了一個最常見到的例子-階成函數 (power function) ,他的一般式為

y = [u(x)]n

對於這種微分式,我們通稱為 General Power Rule,這是連鎖律 (Chain Rule) 的特例。


 -0.2cmThe General Power Rule

假設 y = [u(x)]n 而且 u 可以對 x 微分,而且 n 屬於實數,則可以得到下列等式:

$\displaystyle {\frac{dy}{dx}}$ = n[u(x)]n - 1$\displaystyle {\frac{du}{dx}}$

同時與下式等價

$\displaystyle {\frac{d}{dx}}$[un] = nun - 1u'


證明

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} & =\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} ...
...n]\frac{du}{dx} \\
& =nu^{n-1}\frac{du}{dx} \\
\end{aligned}\end{displaymath}




範例 3    


Using the General Power Rule
找出 f (x) = (3x - 2x2 + 1)3 的微分


解     我們令 u = 3x - 2x2 ,則我們得到

\begin{displaymath}\begin{aligned}
f' (x) & =3 (3x-2x^2) ^2\frac{d}{dx}[3x-2x^2...
...2x^2) ^2 (3-4x) \\
& = (9-12x) (3x-2x^2) ^2 \\
\end{aligned}\end{displaymath}




範例 4    


Rewriting Before Differrntiating
找出圖形

y = $\displaystyle \sqrt[3]{(x^2+4) ^2}$

x = 2 的切線方程式


解     我們重新寫出這個方程式 y = $ \sqrt[3]{(x^2+4) ^2}$ ,則我們得到 y = (x2 + 4)$\scriptstyle {\frac{}{}}$23      改寫後的式子 我們令 u = x2 + 4 ,並且應用General Power Rule $ {\frac{dy}{dx}}$ = nun - 1u'

\begin{displaymath}\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} & =\frac{2}{3} (x^2+4) ^\frac{...
...-1}{3}}{3}\\
& =\frac{4x}{3\sqrt[3]{x^2+4}} \\
\end{aligned}\end{displaymath}

x = 2 時, y = 4,$ {\frac{dy}{dx}}$ = $ {\frac{4}{3}}$ , 使用點斜式可以得到切線方程式 y = $ {\frac{4}{3}}$x + $ {\frac{4}{3}}$ ,如圖 2.29。




範例 5    


找出微分方程式
找出下列函數的微分方程式
(a) y = $ {\frac{3}{x^2+1}}$         (b) y = $ {\frac{3}{(x+1) ^2}}$


解    

(a)
我們重寫這個方程式:

y = 3(x2 + 1)-1

則我們使用 General Power Rule得到

$\displaystyle {\frac{dy}{dx}}$ = - 3(x2 + 1)-2(2x) = - $\displaystyle {\frac{6x}{(x^2+1) ^2}}$

(b)
我們重寫這個方程式:

y = 3(x + 1)-2

則我們使用 General Power Rule得到

$\displaystyle {\frac{dy}{dx}}$ = - 6(x + 1)-3(1) = - $\displaystyle {\frac{6}{(x+1) ^3}}$


簡化技術 Simplification Techniques



透過這章我們將會強調寫出簡化過後的微分方程式,原因是因為許多的微分應用都會要求要寫成簡化過後的格式。 下面的兩個例題我們將說明最常用的簡化技術




範例 6    


簡化 y' 並提出公因子
找出下列函數的微分方程式

y = x2$\displaystyle \sqrt{1-x^2}$


解    

\begin{displaymath}\begin{aligned}
y& =x^2\sqrt{1-x^2} \\
& =x^2 (1-x^2) ^\fr...
...x^2) \\
& =\frac{x (2-3x^2) }{\sqrt{1-x^2}} \\
\end{aligned}\end{displaymath}




範例 7    


找出函數的一階微分方程式

f (x) = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{3x-1}{x^2+3}}\right.$$\displaystyle {\frac{3x-1}{x^2+3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{3x-1}{x^2+3}}\right)^{2}_{}$


解    

\begin{displaymath}\begin{aligned}
f' (x) & =2 (\frac{3x-1}{x^2+3}) \frac{d}{dx...
...& =\frac{2 (3x-1) (-3x^2+2x+9) }{ (x^2+3) ^3} \\
\end{aligned}\end{displaymath}


延伸的應用:Revenue Per Share






範例 8    


成長率
從 1987 到 1996, R 代表 MCI 公司的收益,而且 R 剛好可以寫成

R = (0.247t + 0.255)2, 7 $\displaystyle \leq$ t $\displaystyle \leq$ 16

t = 7 代表 1987 年的收益,請問 1990,1992,1994 成長率以及 MCI 公司的股票表現為何?


解    

$\displaystyle {\frac{dR}{dt}}$ = 2(0.247t + 0.255)1(0.247) = 0.494(0.247t + 0.255)

而在1990年的成長率為 t = 10 代入,得到

$\displaystyle {\frac{dR}{dt}}$ = 2(0.247(10) + 0.255)1(0.247) $\displaystyle \thickapprox$ $1.35 billion per year

而在1992年的成長率為 t = 12 代入,得到

$\displaystyle {\frac{dR}{dt}}$ = 2(0.247(12) + 0.255)1(0.247) $\displaystyle \thickapprox$ $1.59 billion per year

而在1992年的成長率為 t = 14 代入,得到

$\displaystyle {\frac{dR}{dt}}$ = 2(0.247(14) + 0.255)1(0.247) $\displaystyle \thickapprox$ $1.83 billion per year

由圖 2.30 所表現出來的方程式,我們可以發現 MCI 公司的股票表現相當的好。


微分公式摘要




 -0.2cm指數的性質

\begin{displaymath}\begin{aligned}
&\text{\bf 1. Constant Rule} & \qquad & \frac...
...ad & \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} \\
\end{aligned}\end{displaymath}



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math 2005-10-10